Dona Clara é uma simpática velhinha, dessas que a gente tem vontade de adotar como terceira avó. Além de fazer um maravilhoso bolo de nozes, ela é uma artesã de mão-cheia. Graças a esse dom, complementa sua mirrada aposentadoria fazendo ursinhos de pelúcia. Matemática, porém, não é o seu forte. Veja só o que aconteceu com ela. Para fazer os dezesseis bichinhos que vende toda semana, ela gasta 4,8 metros quadrados de pelúcia, 4 quilos de recheio, 3,2 metros de fita para laços e 32 botões especiais para os olhos. Certo dia, o lojista que comercializa sua produção lhe disse que provavelmente conseguiria vender muito mais se os ursinhos fossem duas vezes maiores. A afável velhinha não pensou duas vezes: comprou o dobro do material que costumava gastar.
Logo que começou a confeccionar os brinquedos, dona Clara percebeu que algo estava errado: a matéria-prima não ia dar de jeito nenhum. Mas por quê? É que ela não estava levando em conta que as linhas, as áreas e os volumes crescem em proporções muito diferentes. Observe a ilustração abaixo:
Vamos comparar os ursinhos com os dados. As pintas funcionariam como os olhos. Por isso, a quantidade delas sempre será a mesma. Até aí, dona Clara não teve problemas. A primeira coisa que se deve observar é que a altura de cada cubo é uma linha formada pelo encontro de duas faces do dado, chamada, em Geometria, de aresta. Repare que, se a altura do primeiro tem 1 centímetro, a do segundo terá 2.
Trata-se de uma proporção simples, chamada de linear, já que a altura é uma linha. Como a fita que dona Clara põe nos ursinhos também é uma linha, quando se dobra o tamanho do bicho o comprimento da fita vai simplesmente dobrar. Portanto, ela acertou ao comprar 6,4 metros desse material.
Dobrar é multiplicar por dois, mas nem sempre. Com superfície e volume, a proporção é bem diferente. Como a área de um quadrado é a medida do lado elevado ao quadrado, matematicamente isso significa 22=4, ou seja, o quádruplo. Se fosse triplicar o tamanho dos ursos, seria 32=9. Assim, se a simpática velhinha gastou 4,8 metros quadrados de pelúcia, então irá precisar de 19,2 metros quadrados do mesmo material para fazer a pele (pois 4x4,8=19,2). Conseqüentemente, se ela comprou o dobro (9,6 metros quadrados), vai fazer somente oito ursos grandes.
Quanto ao recheio dos brinquedos (que, no caso do dado, corresponde ao volume), veja que, ao dobrar o tamanho das linhas, ele foi multiplicado por oito. A explicação é igual à da área, com a diferença de que o volume é a medida do lado elevado ao cubo. Ou seja: 23=8. Portanto, para fazer os dezesseis ursinhos, serão necessários 32 quilos de recheio (8x4=32). Já que massa é diretamente proporcional ao volume, dá na mesma falar em quilos ou metros cúbicos. Com o que foi comprado, só daria para fazer quatro ursos.
No final da história, dona Clara não só aprendeu um pouco de Matemática. Descobriu ainda que poderia até perder dinheiro se achasse também que bastaria cobrar o dobro.
Professor da Escola de Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo
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